用能量法确定弹性压杆的临界荷载

用静力法（§11-3）确定弹性压杆的临界荷载时，若杆件 截面变化 或 轴向荷载沿杆分布， 挠曲微分方程将成为 变系数 方程——通常难以解析求解；或者 稳定方程阶数过高 难以展开。 此时应用能量法求临界荷载，能取得很好的效果。

压杆由直线平衡转入挠曲平衡过程中，杆件的轴力仍保持不变。此时弯曲应变能可表达为：

将关系式 $EIy'' = -M$ 代入，得到 用 $y''$ 表达 的应变能：

荷载势能 U_P

外荷载 $F_{\mathrm P}$ 沿 $\Delta$ 方向做正功，对应势能为负：

若有多个集中荷载 $F_{\mathrm Pi}$ 沿其作用方向上的位移为 $\Delta_{i}$，则

总势能 · 里兹法雏形

合成 $E_{\mathrm P} = U + U_{\mathrm P}$：

应用势能驻值条件 $\partial E_{\mathrm P}/\partial a_i = 0$，即可得到关于广义坐标 $a_i$ 的齐次代数方程。

假设压杆失稳时的位移曲线可用广义坐标表达为 一组函数的线性组合：

这样 $y(x)$ 完全由 $n$ 个广义坐标 $a_i$ 确定，无限自由度问题便化成 n 自由度的稳定问题，与 §11-2 有限自由度完全一致的方法体系。

位移函数选取的基本原则

• 必须满足 位移边界条件（几何约束）；若还能满足 力的边界条件 更佳，但并非必需；
• 形式应 接近真实失稳曲线——越接近，近似精度越高；
• 项数增多时近似精度应逐渐提高——取 $n+1$ 项与取 $n$ 项相差不大时，说明已接近精确值；
• 常取 幂级数 或 三角级数 形式（见下表）。

表11-1 · 满足位移边界条件的常用级数

以 动画 11.4.4-a 所示等截面悬臂柱为例，试用四种不同位移函数计算其临界荷载，并分析计算结果。 位移边界条件：$x = 0$ 处 $y = 0,\ y' = 0$。

(1) 三角级数首项 · $y = a_{1}(1 - \cos \pi x/2l)$

求导：$y' = (\pi a_{1}/2l)\sin(\pi x/2l)$，$y'' = (\pi^{2} a_{1}/4 l^{2})\cos(\pi x/2l)$。

由 $\mathrm d E_{\mathrm P}/\mathrm d a_{1} = 0$ 且 $a_{1} \ne 0$：

(2) 三次抛物线 · $y = a_{1}(x^{2} - x^{3}/3l)$

这是在悬臂柱端部作用横向力时柱子变形曲线的一般形式。求导：

由 $\mathrm d E_{\mathrm P}/\mathrm d a_{1} = 0$：

(3) 两个广义坐标 · $y = a_{1} x^{2} + a_{2} x^{3}$

求导 $y' = 2 a_{1} x + 3 a_{2} x^{2}$，$y'' = 2 a_{1} + 6 a_{2} x$。得

令 $\alpha = F_{\mathrm P}\, l^{2}/EI$，$\partial E_{\mathrm P}/\partial a_{1} = 0$ 与 $\partial E_{\mathrm P}/\partial a_{2} = 0$：

系数行列式为零：$3\alpha^{2} - 104\alpha + 240 = 0$，最小正根 $\alpha = 2.486$，

(4) 二次抛物线 · $y = a_{1} x^{2}$（反例）

$y'' = 2 a_{1}$ 为常数——近似曲率成常数，与悬臂柱真实曲率（应随 $\cos$ 变化）相差甚远。

按压杆任一截面弯矩 $M = F_{\mathrm P}(a_{1} l^{2} - y)$，$U_{2} = \int M^{2}/(2EI)\,\mathrm d x$ 亦可代入：

荷载势能 $U_{\mathrm P} = -\dfrac{F_{\mathrm P}}{2}\int(y')^{2}\mathrm d x = -\dfrac{2 F_{\mathrm P}\, l^{3}}{3}\, a_{1}^{2}$。

取应变能 $U_{1}$ 时，由 $\mathrm d(U_{1} + U_{\mathrm P})/\mathrm d a_{1} = 0$ 得

四种函数精度对比

试用 能量法 重算 §11-3 例11-3（门式刚架）的临界荷载—— 两柱 $EI$ 相同、横梁 $EA = \infty$，两柱顶端受 $F_{\mathrm P}$，侧移失稳。 用能量法验证静力法结果 $F_{\mathrm{Pcr}} = 2.706\, EI/l^{2}$。

① 选取位移函数（CD 柱）

刚架发生侧移失稳（见动画 11.4.5-a）时，结构的应变能包括 压杆 $CD$ 的弯曲变形 和 未受压力作用的 $EF$ 杆的弯曲变形； 而荷载势能将由作用于 $B$、$D$ 两处的荷载变位所引起。

取 $CD$ 杆的失稳位移曲线为 $D$ 端受横向力作用时 的变形曲线（与例11-5 变体 (2) 同形）：

② 应变能 · EF 杆由侧移刚度求得

$EF$ 杆的弯曲应变能可通过其 $F$ 端发生侧移 $\Delta$ 时的外力功计算。由位移函数可知 $\Delta = \tfrac{2}{3}\, l^{2}\, a_{1}$。 $EF$ 杆的侧移刚度 $k = 3 EI/l^{3}$，于是：

$CD$ 和 $EF$ 两杆总的应变能为

③ 荷载势能 · 两部分

失稳时 $AB$ 杆仅发生 刚体转动，其转角为 $\Delta/l$。于是 $B$ 点处荷载 $F_{\mathrm P}$ 的势能为

$CD$ 上荷载 $F_{\mathrm P}$ 的势能可利用式 (11-17) 计算（与例11-5 变体 (2) 同形）：

④ 总势能 · 驻值条件 · 临界荷载

体系的总势能等于以上各项之和：

由势能驻值条件 $\mathrm d E_{\mathrm P}/\mathrm d a_{1} = 0$ 得

由 $a_{1} \ne 0$ 非零解条件，解得临界荷载

由压杆失稳时的 真实 位移曲线所得的 $F_{\mathrm{Pcr}}$ 即为精确值； 而由 假定 位移曲线所得的 $F_{\mathrm{Pcr}}$ 一般略高于精确值。 这是因为——假定位移曲线只是全部可能失稳曲线集合中的 一个子集， 相当于对体系的变形施加了 某种约束，体系抵抗失稳的能力因而增高。

提升精度的要点

1. 选取接近真实的位移函数——如悬臂柱用 $\cos$ 首项形式恰好命中真实挠曲；
2. 增加级数项数——取 $n+1$ 项的结果若与 $n$ 项接近，即说明已接近精确值；
3. 位移函数 必须满足位移边界条件，满足力的边界条件更佳；
4. 能量法求得的 $F_{\mathrm{Pcr}}$ 为 上界估计——工程中偏于不安全，通常再乘以安全系数。

动画 11.4.7-a 所示为 两端铰支 等截面压杆 $AB$，受均布自重荷载 $q$ 和作用于 $C$ 点（$C$ 在距下端 $2l/3$ 处）的轴向荷载 $q\, l$。 试用能量法计算临界荷载 $q_{\mathrm{cr}}$。

① 选取位移函数（满足两端铰支边界）

满足动画 11.4.7-a 所示 $x = 0$ 和 $x = l$ 处 $y = 0$ 的位移边界条件，取

求导：

② 压杆弯曲应变能

③ 均布自重的荷载势能

由可知，压杆上任一微段 $\mathrm d x$ 因倾角 $\theta$ 引起的轴向位移 $\tfrac{1}{2}(y')^{2}\,\mathrm d x$。 当受到 沿杆长均匀分布 的自重荷载 $q$ 作用时，上述微段 以上部分 的自重荷载为 $q(l - x)$，因而相应的微段荷载势能为

沿杆件全长积分：

④ $C$ 点集中荷载 $q l$ 的势能

集中力 $q l$ 只 "走过" $C$ 点以上杆段 ($0 \le x \le 2l/3$) 的轴向缩短：

⑤ 总势能 · 驻值条件 · 临界荷载

由 $\mathrm d E_{\mathrm P}/\mathrm d a = 0$ 并由 $a$ 的非零解条件：