Chapter 11 · Section 3

用静力法确定弹性压杆的临界荷载

将 §11-2 的静力法推广到 无限自由度 弹性压杆：由 挠曲微分方程 出发，结合位移边界条件得到稳定方程。针对 对称结构 可用对称 / 反对称模态简化；用 长度系数 $\mu$ 把结果统一写成 $F_{\mathrm{Pcr}} = \pi^{2} EI/(\mu l)^{2}$。核心例题：刚架侧移与阶梯变截面悬臂柱。

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11.3.1

从有限自由度到无限自由度

Motivation

§11-2 将刚性杆 + 弹性铰的有限自由度模型作为 "最简单的样例"——其位移可用少数几个独立参数确定。然而 真实的弹性压杆 任意截面都可能产生微小侧移，挠曲线是连续函数 $y(x)$，需 无穷多个参数 才能完整刻画。

新工具

挠曲微分方程

针对连续挠曲 $y(x)$ 的新位移形态，不再能用 "代数方程组 + 行列式" 求解，而需列 挠曲微分方程：

$$ EI\, y'' \;=\; -\, M(x)$$

(11-11)

$EI$ = 抗弯刚度；$M(x)$ = 截面弯矩；正负号约定与坐标选取相关

将 $M(x)$ 用支承反力与 $y(x)$ 表达后，方程成为关于 $y(x)$ 的齐次线性微分方程。

动画 11.3.1-a

静力法的统一思路

无论是有限自由度（代数方程）还是无限自由度（微分方程）——静力法的 三步骤 是同一个： ① 新位移态下列方程 → ② 代入边界条件得齐次方程 → ③ 非零解条件（行列式 $D=0$）给出特征方程。 $F_{\mathrm P}$ 的最小正根即为临界荷载。

11.3.2

模型 · 挠曲微分方程

Governing ODE

以 动画 11.3.2-a 所示下端固定、上端有水平支杆的等截面轴心压杆为例（长度 $l$、抗弯刚度 $EI$），说明静力法的分析原理与计算步骤。$F_{\mathrm P}$ 达临界时，压杆由直线平衡分支到弯曲平衡。

动画 11.3.2-a

① 新位移态的隔离体弯矩

取坐标：$x$ 沿轴向、$y$ 沿侧移方向。由隔离体的力矩平衡：

$$ M(x) \;=\; F_{\mathrm P}\, y \;+\; F_{\mathrm R}\, (l - x) $$

(11.3-1)

$F_{\mathrm R}$ = 上端水平支杆反力；$y$ 为 $x$ 处侧向挠度

② 引入 α² 简化方程

代入挠曲方程 $EIy'' = -M$，并令

$$ \alpha^{2} \;=\; \dfrac{F_{\mathrm P}}{EI}$$

(11-12)

得二阶常系数非齐次线性微分方程：

$$ y'' \;+\; \alpha^{2}\, y \;=\; -\, \dfrac{F_{\mathrm R}}{EI}\,(l - x) $$

(11.3-2)

11.3.3

边界条件 · 稳定方程

Characteristic Equation

① 方程通解

$$ y \;=\; A\cos\alpha x \;+\; B\sin\alpha x \;-\; \dfrac{F_{\mathrm R}}{F_{\mathrm P}}\,(l - x) $$

(11.3-3)

求导得

$$ y' \;=\; -\,\alpha A\sin\alpha x \;+\; \alpha B\cos\alpha x \;+\; \dfrac{F_{\mathrm R}}{F_{\mathrm P}} $$

(11.3-4)

② 位移边界条件 · 三个约束

下端固定 $x = 0$：$y = 0,\ y' = 0$
上端有支杆 $x = l$：$y = 0$

代入通解得到关于 $A,\, B,\, F_{\mathrm R}/F_{\mathrm P}$ 的三元齐次线性方程组。

③ 非零解条件 → 稳定方程

要求方程组系数行列式为零，即 稳定方程：

$$ \tan \alpha l \;=\; \alpha l $$

(11.3-5)

这是一个以 $\alpha l$ 为未知量的 超越方程

该超越方程的 最小正根 为 $\alpha l = 4.493$，代回 $\alpha² = F_{\mathrm P}/EI$ 即得临界荷载：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \alpha^{2}\, EI \;=\; \dfrac{(4.493)^{2}\, EI}{l^{2}} \;\approx\; 20.19\,\dfrac{EI}{l^{2}} \;=\; \dfrac{\pi^{2} EI}{(0.7\,l)^{2}} $$

(11.3-6)

折合成等效自由长度 $\mu l = 0.7 l$——与相应一端固定一端铰支压杆等效

动画 11.3.3-a

11.3.4

对称结构对称荷载下的失稳形式

Symmetric / Antisymmetric Modes

对于 对称结构 在 对称荷载 作用下的失稳问题，其失稳位移形态必然 呈对称 或 反对称。这一性质可以把原问题的分析简化——只需分别对 对称半结构 与 反对称半结构 做稳定分析，取较小临界荷载作为结构真实 $F_{\mathrm{Pcr}}$。

动画 11.3.4-a

对称失稳 Symmetric Mode

动画 11.3.4-b

失稳形态 关于对称轴对称——两侧位移同向同量；
对称轴上的截面 转角 = 0，剪力 = 0；
简化为对称半结构后，在对称轴处加 滑动支座。

反对称失稳 Antisymmetric Mode

动画 11.3.4-c

失稳形态 关于对称轴反对称——两侧位移方向相反；
对称轴上的截面 挠度 = 0，弯矩 = 0；
简化为反对称半结构后，对称轴处按铰支处理。

两种分析路径的典型模态

可能对称失稳

对称结构、对称荷载下的对称失稳形式——通常对应较大的临界荷载。

动画 11.3.4-d

可能反对称失稳

对称结构、对称荷载下的反对称失稳形式——通常对应较小的临界荷载，即实际 $F_{\mathrm{Pcr}}$。

动画 11.3.4-e

对称性简化的价值

对复杂的对称结构（刚架、桁架、拱）稳定分析时，利用对称性将原问题 "切半"—— 自由度和待定常数减半，超越方程 阶数也减半——求解大大简化。这是后续 §11-6 刚架稳定分析的关键工具之一。

11.3.5

长度系数 $\mu$ 与欧拉公式

Effective Length

不同边界条件的弹性压杆，其临界荷载都可以写成 欧拉公式 的统一形式：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \dfrac{\pi^{2}\, EI}{(\mu l)^{2}} $$

(11.3-7)

$\mu$ = 长度系数；$\mu l$ = 等效自由长度——即将任意支承折算成两端铰支时的 "等效长度"（失稳曲线两相邻反弯点距离）

动画 11.3.5-e

四种经典边界条件的失稳模态

两端铰支 · $\mu = 1$

$F_{\mathrm{Pcr}} = \pi^{2} EI/l^{2}$——整段半波，两端即反弯点。

动画 11.3.5-a

一端固定一端自由 · $\mu = 2$

$F_{\mathrm{Pcr}} = \pi^{2} EI/(2l)^{2}$——半波仅占整根杆；镜像后等效长度 $2l$。

动画 11.3.5-b

两端固定 · $\mu = 0.5$

$F_{\mathrm{Pcr}} = \pi^{2} EI/(0.5 l)^{2}$——两端反弯点距离 $= 0.5 l$，承载 提升 4 倍。

动画 11.3.5-c

一端固定一端铰支 · $\mu \approx 0.7$

$F_{\mathrm{Pcr}} = \pi^{2} EI/(0.7 l)^{2}$——对应 11.3.2 所导出的 $\tan\alpha l = \alpha l$ 情形。

动画 11.3.5-d

长细比 λ 与临界应力

引入压杆的 长细比 $\lambda$：

$$ \lambda \;=\; \dfrac{\mu l}{i}$$

(11-9)

$i = \sqrt{I/A}$ 为截面回转半径

将 $F_{\mathrm{Pcr}}$ 除以截面面积 $A$，得临界应力

$$ \sigma_{\mathrm{cr}} \;=\; \dfrac{\pi^{2} E}{\lambda^{2}}$$

(11-10)

计算压杆 欧拉临界应力 的一般公式

动画 11.3.5-f

约束越强，$\mu$ 越小，承载力越高

两端固定 $\mu = 0.5$ 时承载能力是两端铰支的 4 倍；而一端固定一端自由 $\mu = 2$ 时仅为两端铰支的 $1/4$。这是工程设计中优化压杆约束的基本依据。

11.3.6

刚架失稳形式的比较

Frame Failure Modes

对于多柱刚架（见动画 11.3.6-a），失稳形态的种类远多于单压杆。常见两种大类： 某一杆单独失稳（如 $AB$ 杆单独屈曲）与 整体侧移失稳（全刚架同时侧移）。承压柱与横梁的刚度比 $EI_{1}/EI$ 及纵横边界的约束，决定了 哪种失稳形式 首先出现。

动画 11.3.6-a

AB 杆单独失稳

失稳局限在某单杆内，其他杆维持原位；
对应杆件在当前 约束条件 下的 "局部欧拉问题"；
其他杆件 对该杆的边界约束刚度 决定长度系数 $\mu$。

整体侧移失稳

全刚架联动侧移；
典型于横梁刚度较低、柱脚铰接或弹簧约束情形；
常为刚架的 实际破坏形式——承载力显著低于任何单杆失稳。

临界荷载的上下限估计

如图所示反对称失稳情形的临界荷载范围可由 上下限 估计：

$$ \dfrac{\pi^{2} EI}{(2h)^{2}} \;\le\; F_{\mathrm{Pcr}} \;\le\; \dfrac{\pi^{2} EI}{h^{2}} $$

(11.3-8)

下限：柱顶相当于悬臂（$EI_{1}\to 0$）；上限：柱顶相当于滑动支座（$EI_{1}\to \infty$）

上述极限估计揭示 横梁刚度的显著影响——提高横梁刚度可显著提高刚架承载力。

11.3.7

例11-3 · 刚架侧移失稳（静力法）

Worked Example

动画 11.3.7-a 所示门式刚架，两柱 $EI$ 相同、横梁 $EA = \infty$。两柱顶端分别受轴向压力 $F_{\mathrm P}$。试用静力法计算该刚架发生侧移失稳（见动画 11.3.7-a）时的临界荷载。

动画 11.3.7-a

① 把刚架等效为弹性支座压杆

取 $CD$ 柱作为计算对象，$EF$ 柱及横梁对它的侧移提供 弹性支承。将侧移 $\Delta$ 视为弹性位移，则弹性支座反力

$$ F_{\mathrm R} \;=\; k\,\Delta \;=\; \dfrac{3EI}{l^{3}}\,\Delta $$

(11.3-9)

$k = 3EI/l^{3}$ 为 $EF$ 柱（视为悬臂）顶端的侧移刚度

② CD 杆的挠曲微分方程

由隔离体力矩平衡：

$$ EI\, y'' \;=\; F_{\mathrm P}\,(\Delta - y) \;-\; F_{\mathrm R}\,(l - x) \;+\; F_{\mathrm{NDB}}\,(l - x) $$

(11.3-10)

其中 $F_{\mathrm{NDB}} = (\Delta/l)\, F_{\mathrm P}$ 为 $D$ 点水平反力（由 $B$ 端的荷载引起）。由位移边界 $y(0) = 0,\ y'(0) = 0,\ y(l) = \Delta$ 得关于 $A,\,B,\,\Delta$ 的三元齐次方程组。

③ 稳定方程 · 最小正根

非零解条件（系数行列式为零）展开后得关于 $\alpha l$ 的超越方程：

$$ \left[\dfrac{3}{(\alpha l)^{2}} - 1\right]\tan \alpha l \;+\; \alpha l\left[2 - \dfrac{3}{(\alpha l)^{2}}\right] \;=\; 0 $$

(11.3-11)

试算可得最小正根 $\alpha l = 1.645$，代入 $\alpha^{2} = F_{\mathrm P}/EI$ 得临界荷载：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; (1.645)^{2}\,\dfrac{EI}{l^{2}} \;\approx\; 2.706\,\dfrac{EI}{l^{2}} \;=\; \dfrac{\pi^{2} EI}{(1.91\, l)^{2}} $$

(11.3-12)

相应长度系数 $\mu \approx 1.91$——比 "$CD$ 单独悬臂" 时的 $\mu = 2$ 略小（弹性支座有限刚度下的折中）

11.3.8

例11-4 · 阶梯变截面悬臂柱

Stepped Column

动画 11.3.8-a 所示阶梯变截面悬臂柱：下段长 $l_{1}$、刚度 $EI_{1}$，上段长 $l_{2}$、刚度 $EI_{2}$，承受两段荷载 $F_{\mathrm{P1}}$、$F_{\mathrm{P2}}$。试用静力法建立其稳定方程。

动画 11.3.8-a

① 分段列挠曲方程

分别用 $y_{1}, y_{2}$ 表示下段、上段挠度（见动画 11.3.8-a）。下段承受 $F_{\mathrm{P1}} + F_{\mathrm{P2}}$ 合压力，上段仅受 $F_{\mathrm{P2}}$：

$$ \left\{\begin{aligned} EI_{1}\, y_{1}'' &= F_{\mathrm{P2}}(\Delta_{2} - y_{2}) \\[2pt] EI_{2}\, y_{2}'' &= F_{\mathrm{P2}}(\Delta_{2} - y_{2}) + F_{\mathrm{P1}}(\Delta_{1} - y_{1}) \end{aligned}\right. $$

(11.3-13)

引入参数

$$ \alpha_{1} \;=\; \sqrt{\dfrac{F_{\mathrm{P1}} + F_{\mathrm{P2}}}{EI_{1}}},\qquad \alpha_{2} \;=\; \sqrt{\dfrac{F_{\mathrm{P2}}}{EI_{2}}} $$

(11.3-14)

② 边界与连续性条件

下端固定 $x = 0$：$y_{1} = 0$、$y_{1}' = 0$
变截面处 $x = l_{1}$：$y_{1} = y_{2} = \Delta_{1}$、$y_{1}' = y_{2}'$（位移与转角连续）

由此得 $A_{1},\,B_{1},\,A_{2},\,B_{2},\,\Delta_{1},\,\Delta_{2}$ 六个待定参数的齐次方程组。

③ 稳定方程

由非零解条件，六元行列式为零，展开整理得稳定方程：

$$ \tan \alpha_{1} l_{1}\,\cdot\, \tan \alpha_{2} l_{2} \;=\; \dfrac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\,\left(\dfrac{F_{\mathrm{P1}} + F_{\mathrm{P2}}}{F_{\mathrm{P2}}}\right) $$

(11.3-15)

特殊情形 $EI_{1} = 2EI_{2}$、$F_{\mathrm{P1}} = F_{\mathrm{P2}} = F_{\mathrm P}$、$l_{1} = l_{2} = l/2$ 时代入，得

$$ \tan^{2}\!\left(\dfrac{\alpha_{2}\, l}{2}\right) \;=\; 2 $$

(11.3-16)

解得最小正根 $\alpha_{2}\, l = 1.91$，对应

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; 3.65\,\dfrac{EI_{2}}{l^{2}} $$

(11.3-17)

变截面悬臂柱的临界荷载；等效长度 $\mu l = \pi l/1.91 \approx 1.64\,l$

本节要点

无限自由度压杆用 挠曲微分方程 $EIy'' = -M$ 替代代数方程；
位移边界条件 → 齐次方程组 → $D = 0$ → 关于 $\alpha l$ 的超越稳定方程；
对称结构对称荷载下失稳形态必 对称或反对称——可用半结构大幅简化分析；
四种经典单压杆 $F_{\mathrm{Pcr}}$ 统一写为 $F_{\mathrm{Pcr}} = \pi^{2} EI/(\mu l)^{2}$，$\mu \in \{0.5,\, 0.7,\, 1,\, 2\}$；
刚架失稳有 单杆失稳 与 整体侧移 两类——取实际更低的那一类；
含 弹性支座（刚架）或 变截面（阶梯柱）问题仍可用分段微分方程 + 连续性条件处理；
下一节 §11-4 将介绍 能量法 处理同类问题——对复杂系数更便捷。

§11-4 能量法 →