Chapter 11 · Section 5

组合压杆的稳定

组合压杆由 肢杆 + 缀条（或缀板） 构成——轴向刚度大、自重轻，广泛用于 钢桁桥、厂房柱、起重机、钢塔等。但其虚轴方向失稳时剪切变形显著影响临界荷载，设计中用 换算长细比 $\lambda_{0}$ 取代实腹压杆的 $\lambda$ 套用欧拉公式。

互动提示

点击左侧 章节目录 跳到任意小节 · 点击每节末尾的 绿色 "下一节" 进入下一节 · 每个动画右下角有 ▶ 按钮：点击推进阶段，播完变 ↻ 重播。

11.5.1

组合压杆的分类 · 实轴与虚轴

Classification

组合压杆常见两种形式——缀条式 与 缀板式。两肢（或多肢）之间通过 缀条（铰接类桁架形式） 或 缀板（封闭型刚架形式） 联结。本节主要讨论 双肢组合压杆。

动画 11.5.1-a

缀条式 Laced / Spread

动画 11.5.1-b

肢杆与 斜 / 横缀条 联结，视为铰接——组合杆如空腹桁架；
缀条主要承受轴力；
剪切变形小，临界荷载较高。

缀板式 Battened

动画 11.5.1-c

肢杆与 条形钢板 刚性联结，视为 闭合刚架；
缀板承受 弯矩 + 剪力；
剪切变形相对较大，临界荷载较低。

实轴与虚轴

动画 11.5.1-c 所示截面中（双肢组合压杆）： 穿过肢杆材料的 $y$-$y$ 轴称为实轴； 穿过 "空腹中心" 的 $x$-$x$ 轴称为虚轴。

绕实轴失稳（在 $x$-$z$ 平面内弯曲）——与实腹压杆相同，按欧拉公式计算；
绕虚轴失稳（在 $y$-$z$ 平面内弯曲）——整体截面惯性矩虽大，但 整体剪切变形 较大，临界荷载因剪切而 明显降低——这是组合压杆稳定性分析的核心问题。

11.5.2

剪切变形对临界荷载的影响

Shear Deformation

轴心受压杆在发生弯曲失稳时，杆内力除有轴力和弯矩之外还存在剪力。由此产生的 剪切变形 会增加杆件的侧向挠度，从而降低杆件的临界荷载。

动画 11.5.2-a

① 总挠度的分解

用 $y_{1}$ 表示压杆因弯曲变形引起的挠度，$y_{2}$ 表示因剪切变形引起的附加挠度，则压杆实际挠度

$$ y \;=\; y_{1} \;+\; y_{2} $$

(11.5-1)

杆件微段上剪切变形引起的附加转角可表示为 $\mathrm d y_{2}/\mathrm d x$——等于微段的平均剪切角 $\gamma_{0}$：

$$ \gamma_{0} \;=\; k\,\dfrac{F_{\mathrm Q}}{GA} \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{\mathrm d y_{2}}{\mathrm d x} \;=\; \dfrac{k}{GA}\cdot \dfrac{\mathrm d M}{\mathrm d x} $$

(11.5-2)

② 考虑剪切变形的挠曲方程

总曲率等于弯曲曲率与剪切曲率之和：

$$ \dfrac{\mathrm d^{2} y}{\mathrm d x^{2}} \;=\; -\dfrac{M}{EI} \;+\; \dfrac{k}{GA}\,\dfrac{\mathrm d^{2} M}{\mathrm d x^{2}}$$

(11-19)

对简支压杆有 $M = F_{\mathrm P}\, y$，代入式 (11-19)：

$$ EI\!\left(1 - \dfrac{k F_{\mathrm P}}{GA}\right) y'' \;+\; F_{\mathrm P}\, y \;=\; 0$$

(11-20)

与不考虑剪切时相比，仅在二阶导数项系数含因子 $(1 - kF_{\mathrm P}/GA)$

③ 临界荷载

令 $\alpha^{2} = F_{\mathrm P}/\left[EI(1 - kF_{\mathrm P}/GA)\right]$，方程通解 $y = A\cos\alpha x + B\sin\alpha x$。简支边界 $x = 0,\, l$ 处 $y = 0$，得稳定方程 $\sin \alpha l = 0$，最小正根 $\alpha l = \pi$，代入：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \dfrac{\pi^{2} EI/l^{2}}{1 + (\pi^{2} EI/l^{2})\cdot k/GA} \;=\; \dfrac{F_{\mathrm{Pe}}}{1 + F_{\mathrm{Pe}} \cdot k/GA}$$

(11-21)

$F_{\mathrm{Pe}} = \pi^{2} EI/l^{2}$ = 简支实腹压杆欧拉临界荷载；括号内代表剪切变形影响

11.5.3

缀条式组合压杆 · 单位剪切角推导

Laced Column

针对缀条式组合压杆，需先推导 单位剪力 $\bar{F}_{\mathrm Q} = 1$ 引起的剪切角 $\bar{\gamma}$，再把 $\bar{\gamma}$ 代入式(11-21) 中的 $k/GA$。

① 桁架式计算简图

将缀条视为铰接：单位剪力作用下，斜缀条承受轴力、横缀条仅传递剪力。由虚功原理：

$$ \delta_{11} \;=\; \sum \dfrac{\bar{F}_{\mathrm N}^{2}\, l}{EA} \qquad (\text{d}) $$

(11.5-3)

② 截面参数替换

肢杆截面面积远大于缀条，只计缀条轴向变形。设一对斜缀条面积为 $A_{1x}$、一对横缀条面积为 $A_{2x}$，斜缀条倾角为 $\alpha$，结间长度 $d$：

$$ \delta_{11} \;=\; \dfrac{d}{E}\!\left(\dfrac{1}{A_{1x}\, \sin\alpha \cos^{2}\alpha} \;+\; \dfrac{1}{A_{2x}\, \tan\alpha}\right) $$

(11.5-4)

代入即得 单位剪力引起的剪切角：

$$ \bar{\gamma} \;=\; \dfrac{1}{E}\!\left(\dfrac{1}{A_{1x}\, \sin\alpha \cos^{2}\alpha} \;+\; \dfrac{1}{A_{2x}\, \tan\alpha}\right) \qquad (\text{e}) $$

(11.5-5)

③ 代入式 (11-21) 得临界荷载

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \dfrac{F_{\mathrm{Pe}}}{1 \;+\; \dfrac{F_{\mathrm{Pe}}}{E}\!\left(\dfrac{1}{A_{1x} \sin\alpha \cos^{2}\alpha} + \dfrac{1}{A_{2x} \tan\alpha}\right)}$$

(11-22)

11.5.4

缀条式 · 换算长细比公式

Equivalent Slenderness

利用 $I_{x} = A\, i_{x}^{2}$、$\lambda_{x} = l/i_{x}$，式 (11-22) 可整理为：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \dfrac{F_{\mathrm{Pe}}}{1 \;+\; \dfrac{\pi^{2}}{\lambda_{x}^{2}}\!\left(\dfrac{A}{A_{1x}}\cdot \dfrac{1}{\sin\alpha \cos^{2}\alpha} \;+\; \dfrac{A}{A_{2x}}\cdot \dfrac{1}{\tan\alpha}\right)}$$

(11-23)

动画 11.5.4-a

近似处理

横缀条变形影响一般比斜缀条小得多，常略去。式 (11-23) 简化为

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \dfrac{F_{\mathrm{Pe}}}{1 \;+\; \dfrac{\pi^{2}}{\lambda_{x}^{2}}\cdot \dfrac{A}{A_{1x}}\cdot \dfrac{1}{\sin\alpha \cos^{2}\alpha}}$$

(11-24)

实际工程中斜缀条倾角 $\alpha \in 40^{\circ} \sim 70^{\circ}$，可近似取

$$ \dfrac{\pi^{2}}{\sin\alpha\, \cos^{2}\alpha} \;\approx\; 27 $$

(11.5-6)

代入式 (11-24) 得：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \dfrac{F_{\mathrm{Pe}}}{1 + \dfrac{27\, A}{\lambda_{x}^{2}\, A_{1x}}} \;=\; \dfrac{\pi^{2} EI}{(\mu l)^{2}}$$

(11-25)

$$ \mu \;=\; \sqrt{\,1 \;+\; \dfrac{27\, A}{\lambda_{x}^{2}\, A_{1x}}\,}$$

(11-26)

缀条式简支组合压杆绕虚轴失稳的 计算长度系数

$$ \boxed{\;\lambda_{0} \;=\; \mu\, \lambda_{x} \;=\; \sqrt{\,\lambda_{x}^{2} \;+\; 27\,\dfrac{A}{A_{1x}}\,}\;}$$

(11-27)

这就是钢结构设计规范中 缀条式双肢组合压杆换算长细比 的计算公式

工程意义

在实际设计中，将 $\lambda_{0}$ 替代实腹压杆的 $\lambda$ 代入欧拉公式或经验公式，即可得到组合压杆的临界应力与承载能力—— "缀条式组合压杆的稳定性按实腹压杆长细比 $\lambda_{0}$ 计算"。

11.5.5

缀板式组合压杆 · 换算长细比

Battened Column

缀板式双肢组合压杆可视为 单跨多层刚架——肢杆由剪力引起弯曲变形的反弯点位于相邻结点间的中点处。由此可取单位剪切角的计算简图（见动画 11.5.5-a）——肢杆上下端弯矩等于零，单位剪力 $\bar{F}_{\mathrm Q} = 1$ 则平均分配在两根肢杆上。

动画 11.5.5-a

① 单位剪切角（图乘法）

先作出单位弯矩图，应用图乘法：

$$ \delta_{11} \;=\; \sum\!\int\! \dfrac{M^{2}}{EI}\,\mathrm d s \;=\; \dfrac{d^{3}}{24\, EI_{1}} \;+\; \dfrac{b\, d^{2}}{12\, EI_{\mathrm h}} \qquad (\text{f}) $$

(11.5-7)

$I_{1}$ = 单根肢杆对形心轴惯性矩；$I_{\mathrm h}$ = 两侧一对缀板截面惯性矩之和

$$ \bar{\gamma} \;=\; \dfrac{d^{2}}{24\, EI_{1}} \;+\; \dfrac{b\, d}{12\, EI_{\mathrm h}} \qquad (\text{g}) $$

(11.5-8)

② 临界荷载

将 $\bar{\gamma}$ 代入式 (11-21)：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \dfrac{F_{\mathrm{Pe}}}{1 \;+\; F_{\mathrm{Pe}}\!\left(\dfrac{d^{2}}{24\, EI_{1}} + \dfrac{b\, d}{12\, EI_{\mathrm h}}\right)}$$

(11-28)

第一项代表 肢杆变形，第二项代表 缀板变形

一般缀板弯曲线刚度远大于肢杆，忽略缀板变形：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;\approx\; \dfrac{F_{\mathrm{Pe}}}{1 \;+\; \dfrac{\pi^{2} d^{2}\, I_{x}}{24\, l^{2}\, I_{1}}}$$

(11-29)

③ 换算长细比

引入 $I_{x} = A\, i_{x}^{2}$、$I_{1} = \tfrac{1}{2} A\, i_{1}^{2}$、$\lambda_{x} = l/i_{x}$、$\lambda_{1} = d/i_{1}$，代入 (11-29) 并近似取常数系数 $0.82 \approx 1$：

$$ F_{\mathrm{Pcr}} \;=\; \dfrac{\lambda_{x}^{2}}{\lambda_{x}^{2} + \lambda_{1}^{2}}\, F_{\mathrm{Pe}}$$

(11-31)

$$ \mu \;=\; \sqrt{\dfrac{\lambda_{x}^{2} + \lambda_{1}^{2}}{\lambda_{x}^{2}}}$$

(11-32)

$$ \boxed{\;\lambda_{0} \;=\; \mu\, \lambda_{x} \;=\; \sqrt{\,\lambda_{x}^{2} + \lambda_{1}^{2}\,}\;}$$

(11-33)

这就是钢结构设计规范中 缀板式双肢组合压杆换算长细比 的计算公式

本节要点

组合压杆有 缀条式（类桁架）与 缀板式（类刚架）两种；
绕实轴失稳 按实腹压杆计算；绕虚轴失稳 必须考虑剪切变形；
剪切修正后 $F_{\mathrm{Pcr}} = F_{\mathrm{Pe}} / (1 + F_{\mathrm{Pe}}\, \bar{\gamma})$——式(11-21)；
缀条式 $\lambda_{0} = \sqrt{\lambda_{x}^{2} + 27\, A/A_{1x}}$；缀板式 $\lambda_{0} = \sqrt{\lambda_{x}^{2} + \lambda_{1}^{2}}$；
设计时将 $\lambda_{0}$ 代替 $\lambda$ 套用欧拉公式，即得临界承载力。

§11-6 刚架的稳定 →