Chapter 12 · Section 4

比例加载时判定极限荷载的一般定理

对复杂超静定结构可能存在 多种破坏机构，真实破坏形式往往较难断定。 本节介绍 比例加载 的三大定理 —— 极小定理（上限）、极大定理（下限）、惟一性定理 —— 为极限荷载的计算提供 严格数学基础 与 群举验证 的方法论。

互动提示

点击左侧 章节目录 跳到任意小节 · 点击每节末尾的 绿色 "下一节" 进入下一节 · 每个动画右下角有 ▶ 按钮：点击推进阶段，播完变 ↻ 重播。

12.4.1

比例加载 · 极限状态的三条件

Three Conditions
比例加载的定义

比例加载 是指所有荷载按固定比例增大——整个荷载组可用 单一荷载参数 $F_{\mathrm P}$ 表示， 且荷载参数单调增加，不出现卸载现象。本节假设：

  • 杆件由 理想弹塑性材料 制成；
  • 杆件截面 正负极限弯矩绝对值相等（$M_{\mathrm u}^{+} = M_{\mathrm u}^{-} = M_{\mathrm u}$）；
  • 忽略 轴力与剪力 对极限弯矩的影响。

极限状态必须同时满足的三条件

① 平衡条件

Equilibrium

结构处于极限状态时，结构的整体或任一局部 都能维持平衡。

② 内力局限条件

Yield / Strength

任一截面弯矩绝对值 不超过 截面极限弯矩：
$|M(x)| \le M_{\mathrm u}$

③ 单向机构条件

Mechanism

结构已有 足够数量 截面的内力达极限值而使体系转化为机构——沿荷载正功方向作 单向 运动。

12.4.2

三种荷载的定义 · 基本定理

Base Theorem

三种荷载

名称记号满足的条件
可破坏荷载$F_{\mathrm P}^{+}$平衡条件 + 单向机构条件（不一定 满足内力局限）
可接受荷载$F_{\mathrm P}^{-}$平衡条件 + 内力局限条件（不一定 满足机构条件）
极限荷载$F_{\mathrm{Pu}}$三条件 同时满足 → 既是可破坏荷载，又是可接受荷载
基本定理

可破坏荷载恒不小于可接受荷载：

$$ F_{\mathrm P}^{+} \;\ge\; F_{\mathrm P}^{-} $$
(12.4-1)

证明（虚功法）

① 设结构在 $F_{\mathrm P}^{+}$ 作用下已成为单向机构，含 $n$ 个塑性铰。对机构位移列出虚功方程：

$$ F_{\mathrm P}^{+}\cdot \Delta \;=\; \sum_{i=1}^{n}\, |M_{\mathrm u i}|\cdot |\theta_{i}| \qquad \text{(a)} $$
(12.4-2)
$\theta_{i}$ 沿 $M_{\mathrm u i}$ 方向单向转角，$M_{\mathrm u i}\theta_{i}$ 恒为正

② 设可接受荷载 $F_{\mathrm P}^{-}$ 作用，相应弯矩图为 $M^{-}$。令此平衡体系经历上述机构位移，可得：

$$ F_{\mathrm P}^{-}\cdot \Delta \;=\; \sum_{i=1}^{n}\, M_{i}^{-}\, \theta_{i} \qquad \text{(b)} $$
(12.4-3)
$M_{i}^{-}$ 为 $M^{-}$ 图中第 $i$ 个塑性铰处的弯矩值

③ 由内力局限条件 $|M_{i}^{-}| \le M_{\mathrm u}$：

$$ \sum_{i} M_{i}^{-}\, \theta_{i} \;\le\; \sum_{i} |M_{\mathrm u i}|\cdot |\theta_{i}| $$
(12.4-4)

将 (a)(b) 代入，由 $\Delta > 0$，得

$$ F_{\mathrm P}^{+}\, \Delta \;\ge\; F_{\mathrm P}^{-}\, \Delta \quad \Rightarrow \quad F_{\mathrm P}^{+} \ge F_{\mathrm P}^{-} \qquad \blacksquare $$
(12.4-5)
12.4.3

三大定理 · 上限 / 下限 / 惟一性

Bounds & Uniqueness

由基本定理可直接导出三个互相关联的重要定理：

动画 12.4.3

① 极小定理 Upper-Bound Theorem

可破坏荷载中的最小值即为极限荷载。
或：可破坏荷载是极限荷载的 上限值——$F_{\mathrm{Pu}} \le F_{\mathrm P}^{+}$。

证明：因为 $F_{\mathrm{Pu}}$ 本身也是可接受荷载 $F_{\mathrm P}^{-}$，故由基本定理 $F_{\mathrm P}^{+} \ge F_{\mathrm{Pu}}$。

② 极大定理 Lower-Bound Theorem

可接受荷载中的最大值即为极限荷载。
或：可接受荷载是极限荷载的 下限值——$F_{\mathrm{Pu}} \ge F_{\mathrm P}^{-}$。

证明：因为 $F_{\mathrm{Pu}}$ 本身也是可破坏荷载 $F_{\mathrm P}^{+}$，故由基本定理 $F_{\mathrm{Pu}} \ge F_{\mathrm P}^{-}$。

③ 惟一性定理（单值定理）

极限荷载值是惟一确定的。 若某一荷载 既是 可破坏荷载 又是 可接受荷载，则该荷载就是极限荷载。

证明：假设存在两种极限状态 $F_{\mathrm{Pu1}}, F_{\mathrm{Pu2}}$。 两个极限荷载都既是 $F_{\mathrm P}^{+}$ 又是 $F_{\mathrm P}^{-}$—— 由基本定理：$F_{\mathrm{Pu1}} \ge F_{\mathrm{Pu2}}$（把 1 看作 $+$，2 看作 $-$） 同时 $F_{\mathrm{Pu2}} \ge F_{\mathrm{Pu1}}$（把 2 看作 $+$，1 看作 $-$），故 $F_{\mathrm{Pu1}} = F_{\mathrm{Pu2}}$。$\blacksquare$

三大定理的实用意义

  • 极小定理 → 群举法：列举所有可能的破坏机构，分别算出对应的 $F_{\mathrm P}^{+}$——最小者 即为 $F_{\mathrm{Pu}}$；
  • 极大定理 → 试算法：假设弯矩分布且满足内力局限，由平衡条件算 $F_{\mathrm P}^{-}$——最大者 即为 $F_{\mathrm{Pu}}$；
  • 惟一性定理 → 验证法：求出一个 $F_{\mathrm P}$ 后，验证 其是否同时满足三条件，若是则必为 $F_{\mathrm{Pu}}$。

应当指出：结构在同一广义力作用下，极限状态 可能不止一种，但每一种极限状态相应的极限荷载彼此相等—— 换言之，极限荷载惟一，但极限状态不一定惟一。

12.4.4

例12-4 · 连续梁的群举法求解

Worked Example

试求动画 12.4.4 所示 等截面连续梁 的极限荷载。设梁截面极限弯矩为 $M_{\mathrm u}$。 梁上两个荷载比例加载：$F_{\mathrm P}$ 与 $1.2\, F_{\mathrm P}$。

动画 12.4.4

① 机构 1：AB 跨单独破坏（见动画 12.4.4）

假设 AB 跨中 $D$ 截面出现塑性铰， $B$ 支座出现负塑性铰。虚功方程：

$$ F_{\mathrm P}\, \theta\, \dfrac{l}{2} \;=\; M_{\mathrm u}\cdot 2\theta \;+\; M_{\mathrm u}\cdot \theta $$
(12.4-6)

得可破坏荷载

$$ F_{\mathrm P}^{+(1)} \;=\; \dfrac{6\, M_{\mathrm u}}{l} $$
(12.4-7)

根据静力平衡可绘出梁的弯矩图。检查：BC 跨中弯矩 $= 2.27\, M_{\mathrm u}$ —— 远大于截面极限弯矩 $M_{\mathrm u}$，因此 不满足内力局限条件，相应的荷载值 只是上限值。

② 机构 2：BC 跨单独破坏

假设 BC 跨中 $E$ 截面出现正塑性铰， $B$ 支座出现负塑性铰。虚功方程：

$$ 1.2\, F_{\mathrm P}\, \theta\, \dfrac{l}{3} \;=\; M_{\mathrm u}\cdot \theta \;+\; M_{\mathrm u}\cdot \dfrac{3\theta}{2} $$
(12.4-8)

解得

$$ F_{\mathrm P}^{+(2)} \;=\; \dfrac{(5/2)\, M_{\mathrm u}}{1.2\, (l/3)} \;=\; \dfrac{6.25\, M_{\mathrm u}}{l} $$
(12.4-9)

类似地检查弯矩图：AB 跨中弯矩 $= 2.06\, M_{\mathrm u} > M_{\mathrm u}$，仍 不满足 内力局限——依然是上限。

③ 机构 3：两跨联动破坏

AB 跨 $D$ 处与 BC 跨 $E$ 处同时出现塑性铰，$B$ 支座也是塑性铰。虚功方程：

$$ F_{\mathrm P}\, \theta\, \dfrac{l}{2} \;+\; 1.2\, F_{\mathrm P}\, \theta\, \dfrac{l}{3} \;=\; M_{\mathrm u}\cdot 2\theta \;+\; M_{\mathrm u}\cdot \theta \;+\; M_{\mathrm u}\cdot \dfrac{3\theta}{2} $$
(12.4-10)

得

$$ F_{\mathrm P}^{+(3)} \;\approx\; \dfrac{(9/2)\, M_{\mathrm u}}{0.9\, l} \;=\; \dfrac{5\, M_{\mathrm u}}{l} $$
(12.4-11)

绘出弯矩图：AB 跨中 $\approx M_{\mathrm u}$，BC 跨中 $\approx 0.056\, M_{\mathrm u}$——都不超过 $M_{\mathrm u}$， 内力局限条件满足。同时它是可破坏荷载。由 惟一性定理：

$$ \boxed{\; F_{\mathrm{Pu}} \;=\; \dfrac{5\, M_{\mathrm u}}{l} \;} $$
(12.4-12)
群举法的要点
  1. 列出结构所有可能的破坏机构——跨内单独破坏、邻跨联动破坏等；
  2. 对每一种机构用虚功法求 $F_{\mathrm P}^{+}$；
  3. 最小的 $F_{\mathrm P}^{+}$ 即为极限荷载 $F_{\mathrm{Pu}}$（上限定理）；
  4. 验证弯矩图满足内力局限条件——同时满足则由惟一性定理即可确认。
本节要点
  1. 比例加载下，极限状态需同时满足 平衡 · 内力局限 · 机构 三条件；
  2. 可破坏荷载 $F_{\mathrm P}^{+}$ 是极限荷载的 上限；可接受荷载 $F_{\mathrm P}^{-}$ 是 下限；
  3. 若某荷载既是 $F_{\mathrm P}^{+}$ 又是 $F_{\mathrm P}^{-}$，必为 $F_{\mathrm{Pu}}$（惟一性定理）；
  4. 群举法：列举所有机构→机动法求 $F_{\mathrm P}^{+}$→取最小→验证内力局限；
  5. 下一节 §12-5 将将这套方法推广到 刚架的极限荷载。
§12-5 刚架极限荷载 →