平面刚架的极限荷载

动画 12.5.1 所示矩形截面杆件在平面内同时受 轴力 $F_{\mathrm N}$ 和弯矩 $M$ 作用。 随着荷载的增大，截面由弹性阶段（见动画 12.5.1），发展到弹塑性阶段（见动画 12.5.1），最后达到塑性阶段（见动画 12.5.1）。

极限状态的应力分布（见动画 12.5.1）

塑性阶段时，截面上下各划为一块 $+\sigma_{\mathrm s}$ 与 $-\sigma_{\mathrm s}$ 区域，两区域面积不等——其分界位置由 $y_{1}$ 确定。由式 (12-1) 与 (12-2) 的平衡条件：

消去 $y_{1}$ 得屈服轨线

由上面两式消去 $y_{1}$：

定义两个 纯荷载 极限：

• 截面只受 轴力 时的极限：$F_{\mathrm{Nu}} = \sigma_{\mathrm s}\, b\, h$
• 截面只受 弯矩 时的极限：$M_{\mathrm u} = \sigma_{\mathrm s}\, b\, h^{2}/4$

利用两个纯荷载极限关系，式 (a) 可改写为无量纲形式：

式 (12-16) 表达了截面屈服时 $M$ 与 $F_{\mathrm N}$ 之间满足的关系。若 $(M, F_{\mathrm N})$ 坐标点位于屈服轨线下方，则截面尚未达到极限状态； 若位于屈服轨线上，则截面可发生塑性流动。对于理想弹塑性材料，截面内力坐标 不可能位于屈服轨线上方。

轴力对 $M_{\mathrm u}$ 影响的量化

可见，在 轴力较小时（$F_{\mathrm N}/F_{\mathrm{Nu}} \le 0.3$）其对截面极限弯矩的影响不很明显， 因此在计算刚架极限荷载时，一般可以忽略轴力的影响。

在忽略轴力影响的前提下，刚架极限荷载的分析原理和方法仍与连续梁类似，只是 刚架可能发生的破坏机构形式相对较多且复杂。刚架杆件或结点单独形成的破坏机构称为 基本机构：

试求动画 12.5.4 所示刚架的极限荷载。已知柱和梁的截面极限弯矩分别为 $M_{\mathrm u}$ 和 $2 M_{\mathrm u}$。 水平力 $F_{\mathrm P}$，跨中集中力 $2 F_{\mathrm P}$；柱高 $1.5\, l$，梁跨 $2\, l$。

① 侧移机构（见动画 12.5.4）

两柱同向转动 $\theta$，B 柱顶、A 柱脚、D 柱顶、E 柱脚形成塑性铰。虚功方程：

② 梁机构（见动画 12.5.4）

梁中 $C$ 处向下变形，B、D 梁端转角 $\theta$，C 处塑性铰转角 $2\theta$。虚功方程：

③ 组合机构

两机构叠加：柱同时侧移、梁同时下挠。A、E 柱脚、C 梁跨中仍为塑性铰，但 B 结点不再形成铰（转角相互抵消）：

④ 比较 · 确认极限荷载

组合机构的 $F_{\mathrm P}^{+}$ 最小，由 上限定理：

组合机构由两个或多个基本机构叠加而成。叠加方式：位移加和、抵消互相位置上的转动—— 在某些位置塑性铰 "退化"（由于两个机构的转向相反互相抵消），于是 塑性铰数减少、机构整体的塑性变形功减小， 而 外力功保持原有两机构之和——所以组合机构的 $F_{\mathrm P}^{+}$ 通常比任一基本机构都小。

构造方法

1. 列出所有 独立基本机构（梁机构 × 每跨 + 侧移机构 × 每层）；
2. 逐步组合两个、三个、...基本机构——每次组合后检查是否有 塑性铰退化；
3. 用机动法（虚功）计算每种可能组合的 $F_{\mathrm P}^{+}$；
4. 取最小值 $F_{\mathrm P}^{+\min}$，由 上限定理：$F_{\mathrm{Pu}} \le F_{\mathrm P}^{+\min}$；
5. 验证相应的极限弯矩图满足内力局限 $|M| \le M_{\mathrm u}$——满足则由 惟一性定理 得到 $F_{\mathrm{Pu}} = F_{\mathrm P}^{+\min}$。

结点机构 是指某个结点（刚性结合点）处的所有杆端同时达极限弯矩形成塑性铰， 使得结点独立转动的机构。它只有在 结点处作用有外力矩（或通过组合机构的方式间接参与）时才可能出现。

在例12-7 中的作用

对多跨框架（例12-7，该图），除梁机构、侧移机构外，结点机构 必须作为独立基本机构列入—— 否则某些真实可能的组合机构将不能被表达出来。这使得枚举必须系统完整。

试求动画 12.5.7.1 所示两跨刚架的极限荷载。各截面的极限弯矩在图中已标出（$M_{\mathrm u}$、$2 M_{\mathrm u}$、$3 M_{\mathrm u}$）。 水平力 $F_{\mathrm P}$，跨中集中力 $F_{\mathrm P}$、$2 F_{\mathrm P}$。

四个独立基本机构

组合机构（见动画 12.5.7.4）

将c、d、e 三个基本机构组合，得到动画 12.5.7.4 所示的组合机构。虚功方程：

化简：$3 F_{\mathrm P}\, l\, \theta = 14\, M_{\mathrm u}\, \theta$，得

确定极限荷载

四种独立机构与组合机构的对比：

组合机构 f 的 $F_{\mathrm P}^{+}$ 最小。由相应的弯矩图满足内力局限条件。由 惟一性定理：

对比较复杂的刚架，传统机构法枚举困难——破坏机构的可能形式很多。 增量变刚度法 将非线性问题化成一系列 分级线性问题，便于计算机实现， 同时揭示塑性铰形成的 先后顺序。

基本假设

1. 结构的材料为理想弹塑性，且达极限状态前变形很小；
2. 截面成为塑性铰前按 弹性 处理；出现塑性铰后，将塑性区退化为塑性铰截面（弯矩保持 $M_{\mathrm u}$），杆件其余部分仍为弹性；
3. 荷载按比例增加，且为结点荷载——塑性铰只出现在结点处；
4. 忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。

算法步骤

1. 按 $F_{\mathrm P} = 1$ 单位荷载作用下进行 弹性分析，求出结点位移和各杆端弯矩；
2. 比较所有结点 $M$ 值，找出 首先达 $M_{\mathrm u}$ 的位置（最大 $|M|/M_{\mathrm u}$）， 计算对应的荷载增量 $\Delta F_{\mathrm P}$ 与荷载总量 $F_{\mathrm P}^{(k)}$，更新位移和内力总量；
3. 在新塑性铰位置修改单元刚度矩阵（令该端点弯矩增量 $= 0$），装配新的结构刚度矩阵 $\boldsymbol K$；
4. 返回步骤 ①——继续 "弹性" 加载到下一个塑性铰出现；
5. 以上过程一直进行到结构形成破坏机构为止——标志是 $|\boldsymbol K|$ 奇异 或 主对角元素出现零。

单元刚度矩阵的修正

一般刚架单元刚度方程（第 8 章矩阵位移法）：

若单元 一端或两端出现塑性铰，需修改该端的刚度行（令 $\bar M_{i} = 0$），消去对应转角自由度，得到 更软 的单元刚度矩阵。端部塑性铰有三种情形：

• 铰位于 $i$ 端——令 $\bar M_{i} = 0$ 消 $\bar\theta_{i}$；
• 铰位于 $j$ 端——令 $\bar M_{j} = 0$ 消 $\bar\theta_{j}$；
• 两端均铰——杆件退化为桁架杆（只含轴力）。