Chapter 12 · Section 3

梁的极限荷载

利用极限弯矩 $M_{\mathrm u}$ 和塑性铰概念，求解理想弹塑性梁在 静定 / 超静定 / 连续梁 情况下的 极限荷载 $F_{\mathrm{Pu}}$。 核心工具：静力法（利用极限状态的平衡条件）与 机动法（对破坏机构用虚功原理）—— 两种方法都以 "体系转化为机构" 为判据，且结果一致。

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12.3.1

静定梁的极限荷载 · 静力法与机动法

Statically Determinate

矩形等截面简支梁，跨中承受由零逐渐增大的集中荷载 $F_{\mathrm P}$。 按极限状态利用 平衡条件 确定极限荷载的方法称为 静力法； 也可以由极限状态的破坏机构用 虚功原理 求解——称为 机动法。

动画 12.3.1

弹性极限 → 塑性铰形成 → 极限荷载

随着荷载增大：

  • 跨中截面 最外纤维先达屈服极限——弹性极限荷载 $F_{\mathrm{Ps}} = 4 M_{\mathrm s}/l$
  • 跨中开始形成塑性区（见动画 12.3.1），并随荷载增大而扩大；
  • 最后跨中弯矩达 $M_{\mathrm u}$，形成 塑性铰（见动画 12.3.1）——梁变为机构而破坏。
$$ F_{\mathrm{Pu}} \;=\; \dfrac{4\, M_{\mathrm u}}{l} \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{F_{\mathrm{Pu}}}{F_{\mathrm{Ps}}} \;=\; \dfrac{M_{\mathrm u}}{M_{\mathrm s}} \;=\; 1.5 $$
(12.3-1)
矩形截面简支梁的极限荷载是弹性极限的 1.5 倍（即形状系数 $\alpha$）

静力法 Static

  • 利用极限状态下的 弯矩平衡；
  • 各塑性铰处 $M = \pm M_{\mathrm u}$，作 $M$ 图后列平衡方程；
  • 直接得 $F_{\mathrm{Pu}}$。

机动法 Kinematic / Virtual Work

  • 对 破坏机构 施加虚位移；
  • 用虚功原理 $W_{\mathrm{ext}} = W_{\mathrm{int}}$；
  • 对简支梁单塑性铰机构：$F_{\mathrm{Pu}}\cdot(l/2)\cdot 2\theta = M_{\mathrm u}\cdot 2\theta + M_{\mathrm u}\theta \cdot 0$ 亦得 $F_{\mathrm{Pu}} = 4M_{\mathrm u}/l$。
静定梁的特点

静定梁只需形成 一个塑性铰 即变为机构破坏——极限荷载与 $M_{\mathrm u}$ 通过静力平衡 直接关联， 无需追踪塑性铰形成过程或加载路径。

12.3.2

单跨超静定梁 · 均布荷载

Indeterminate Beam

动画 12.3.2 所示 一端固定一端简支 等截面梁，承受均布荷载 $q$。 单跨超静定梁的特点：必须有 足够多的塑性铰 出现，梁才能形成机构（破坏）。

动画 12.3.2

① 弹性阶段 · $M$ 图（见动画 12.3.2）

按弹性分析：$A$ 端弯矩 $M_{A} = -q l^{2}/8$（固定端），跨中附近正弯矩最大处 $= q l^{2}/14.22$；$B$ 端支座处 $M_{B} = 0$。 $A$ 端弯矩绝对值最大——首先达极限弯矩。

② $A$ 端首先形成塑性铰

当 $q \to q_{\mathrm s}^{A}$ 时，$A$ 端首先达 $M_{A} = M_{\mathrm u}$，形成第一塑性铰—— 此时梁相当于 $A$ 端承受 $M_{\mathrm u}$ 作用、$B$ 端铰支的 静定简支梁（见动画 12.3.2），仍可继续承载。

③ 第二塑性铰形成 · 机构形成

继续加载，跨中某截面 $C$ 也达 $M_{\mathrm u}$ 形成第二塑性铰——体系变成机构，达到极限状态。 由极限状态的弯矩图，$A$ 端承担 $-M_{\mathrm u}$，$C$ 截面承担 $+M_{\mathrm u}$。

静力法求解

$$ \dfrac{q_{\mathrm u}\, l^{2}}{8} \;=\; 2\, M_{\mathrm u} \;\Rightarrow\; q_{\mathrm u} \;=\; \dfrac{16\, M_{\mathrm u}}{l^{2}} $$
(12.3-2)
假设第二塑性铰在跨中时的近似值——精确位置见 12.3.4

机动法求解

按如图所示破坏机构，用虚功原理：

$$ W_{\mathrm{ext}} \;=\; q_{\mathrm u}\int\! y\,\mathrm d x \;=\; q_{\mathrm u}\cdot \dfrac{l}{2}\cdot \dfrac{l\,\theta}{2} \;=\; \dfrac{l^{2}\,\theta}{4}\, q_{\mathrm u} $$
(12.3-3)
$$ W_{\mathrm{int}} \;=\; M_{\mathrm u}\,\theta \;+\; M_{\mathrm u}\,\theta \;+\; M_{\mathrm u}\cdot 2\theta \;=\; 4\, M_{\mathrm u}\,\theta $$
(12.3-4)

由 $W_{\mathrm{ext}} = W_{\mathrm{int}}$ 得 $q_{\mathrm u} = 16 M_{\mathrm u}/l^{2}$——结果完全一致。

12.3.3

超静定结构极限分析的两大特点

Key Properties

超静定梁的极限分析表面看似要追踪 "塑性铰发展过程"，但实际可以 直接跳到极限状态—— 这源于超静定结构极限状态的两个重要特点：

思考题 · 为什么无需考虑弹塑性变形发展全过程？

超静定结构确定极限荷载时，无需考虑弹塑性变形发展全过程， 即 不必考虑塑性铰形成顺序和变形协调条件——为什么？

因为最后一塑性铰形成前已成为静定结构——此时温度变化、支座移动等 非荷载因素 都不再引起内力， 对极限荷载也因此 无影响。

特点 ① 无需追踪塑性铰顺序

只需 预先判定破坏机构（哪些截面会形成塑性铰）， 就可根据该机构在 极限状态 下的 平衡条件 直接确定极限荷载。 无需考虑弹塑性变形发展过程、塑性铰形成的顺序、变形协调条件等。

特点 ② 温度 · 支座移动无影响

温度变化、支座移动等 "非荷载" 因素对超静定结构极限荷载 没有影响—— 因为超静定结构在最后一个塑性铰形成之前，已经变为静定结构，非荷载因素对其最后的内力状态没有影响。

实用价值

基于这两个特点，塑性分析中只需 找准最终的破坏机构——通常是弯矩最大位置（负弯矩峰值的支座处 + 跨中正弯矩峰值处）的组合， 再利用机构的平衡条件或虚功方程即可求出 $F_{\mathrm{Pu}}$——无需做弹塑性渐进分析。

12.3.4

例12-1 · 一固一铰梁的极限荷载

Worked Example

求动画 12.3.4 所示一端固定、另一端简支的等截面梁在均布荷载作用下的极限荷载 $q_{\mathrm u}$。梁截面的极限弯矩为 $M_{\mathrm u}$。

动画 12.3.4

① 破坏机构与 C 截面弯矩表达式

由弹性阶段弯矩分布可知，固定端 $A$ 首先形成塑性铰。设另一塑性铰在距 $B$ 支座距离 $x$ 的 $C$ 截面处。由平衡条件得 $B$ 端反力：

$$ F_{yB} \;=\; \dfrac{q_{\mathrm u}\, l}{2} \;-\; \dfrac{M_{\mathrm u}}{l} $$
(12.3-5)

于是 $C$ 截面弯矩表达式（$C$ 距 $B$ 为 $x$）：

$$ M_{C} \;=\; M_{\mathrm u} \;=\; \left( \dfrac{q_{\mathrm u}\, l}{2} - \dfrac{M_{\mathrm u}}{l} \right) x \;-\; \dfrac{q_{\mathrm u}\, x^{2}}{2} $$
(12.3-6)

② 最大正弯矩位置（驻值条件）

$C$ 截面是最大正弯矩位置——令 $\mathrm d M_{C}/\mathrm d x = 0$：

$$ \dfrac{q_{\mathrm u}\, l}{2} \;-\; \dfrac{M_{\mathrm u}}{l} \;-\; q_{\mathrm u}\, x \;=\; 0 $$
(12.3-7)

整理得 $q_{\mathrm u} = 2 M_{\mathrm u}\,/\,[\, l(l - 2x)\,]$。

③ 求解塑性铰精确位置

代入前面 $M_{C}$ 的表达式并整理得 $x^{2} + 2lx - l^{2} = 0$，解得

$$ x \;=\; (\sqrt{2} - 1)\, l \;\approx\; 0.414\, l $$
(12.3-8)
精确塑性铰位置——不是跨中，而是 $x \approx 0.414\, l$

于是

$$ q_{\mathrm u} \;=\; \dfrac{2\, M_{\mathrm u}}{l\,(l - 2 \times 0.414\, l)} \;\approx\; 11.66\,\dfrac{M_{\mathrm u}}{l^{2}} $$
(12.3-9)
比跨中假设 $16 M_{\mathrm u}/l^{2}$ 更精确（真实塑性铰距固定端较远）
12.3.5

例12-2 · 变截面梁的极限荷载

Stepped Beam

试求动画 12.3.5 所示变截面梁的极限荷载 $F_{\mathrm{Pu}}$。已知梁 $AB$ 段截面极限弯矩为 $M_{\mathrm{u1}}$，$BC$ 段截面极限弯矩为 $M_{\mathrm{u2}}$，$M_{\mathrm{u1}} > M_{\mathrm{u2}}$。

动画 12.3.5

① 识别可能的塑性铰位置

对变截面梁，由于 $AB$、$BC$ 两段的极限弯矩不同，塑性铰不仅可能出现在产生最大弯矩的 $A$、$D$ 截面处， 还可能出现在 截面突变处 $B$——因为 $BC$ 段的 $M_{\mathrm{u2}} < M_{\mathrm{u1}}$，$B$ 截面靠 $BC$ 一侧先受限。

② $B$、$D$ 处形成塑性铰的机构

若在 $B$、$D$ 截面出现塑性铰（见动画 12.3.5），相应弯矩图（见动画 12.3.5）中 $B$、$D$ 处的弯矩均达到 $M_{\mathrm{u2}}$。 由此可算得 $A$ 截面弯矩

$$ M_{A} \;=\; \left(\dfrac{2 a + b}{b}\right)\, M_{\mathrm{u2}} $$
(12.3-10)

如果该弯矩已超过截面 $A$ 所能承受的极限弯矩 $M_{\mathrm{u1}}$，则如图所示的破坏机构不可能发生。由此得出发生这一机构的条件：

$$ M_{\mathrm{u1}} \;\ge\; \left(\dfrac{2 a + b}{b}\right)\, M_{\mathrm{u2}} $$
(12.3-11)
若不满足此条件，则需考虑 $A$、$D$ 或 $A$、$B$ 其他塑性铰组合

③ 由机动法求极限荷载

按机构，可列出虚功方程：

$$ F_{\mathrm{Pu}}\cdot b\, \theta \;=\; M_{\mathrm{u2}}\, \theta \;+\; M_{\mathrm{u2}}\cdot \dfrac{b + c}{c}\, \theta $$
(12.3-12)

得极限荷载

$$ F_{\mathrm{Pu}} \;=\; \left(\dfrac{b + 2 c}{b\, c}\right)\, M_{\mathrm{u2}} $$
(12.3-13)
变截面梁的塑性铰特殊位置

对变截面超静定梁，不能仅考虑弹性分析预测的最大弯矩位置—— 截面突变处（$M_{\mathrm u}$ 较小的一侧）也可能首先达到极限弯矩。 因此分析时需要 枚举所有可能的机构，取能形成者中对应最低 $F_{\mathrm{Pu}}$。

12.3.6

连续梁的破坏机构类型

Continuous Beam Mechanisms

多跨连续梁在破坏时，可能产生两类 破坏机构： 单梁机构（某一跨单独形成破坏）与 联合机构（两跨或多跨联动）。

动画 12.3.6

单梁机构 Single-Span

某一跨内形成足够塑性铰构成机构——相邻跨作刚体保持原位。

适用于：

  • 该跨荷载较大；
  • 该跨截面 $M_{\mathrm u}$ 较小；
  • 或相邻跨 没有加载。

联合机构 Combined

两跨（或更多跨）同时形成破坏机构——相邻跨的塑性铰位置 互相兼容。

适用于：

  • 相邻跨荷载同向；
  • 各跨支座负弯矩相互抗衡；
  • 变截面/荷载分布使然。
⚠ 重要规则

当各跨分别为等截面，且荷载方向相同时，只可能发生单梁机构——不会出现联合机构。

这是因为各跨同向荷载时，支座负弯矩对两侧跨的贡献都是减小跨内弯矩， 若相邻跨联动则会使某一跨提前超出 $M_{\mathrm u}$，违反内力局限条件。

正负极限弯矩不相等情形

实际工程中（如混凝土梁），正 / 负极限弯矩可能不同——记为 $M_{\mathrm u}^{+}$ 与 $M_{\mathrm u}^{-}$。 此时机构方程中对应铰的弯矩需 分别代入：

$$ q_{\mathrm u}\cdot \dfrac{l^{2}}{8} \;=\; M_{\mathrm u}^{+} \;+\; \dfrac{M_{\mathrm u}^{-}}{2} $$
(12.3-14)
12.3.7

例12-3 · 连续梁的极限荷载

Continuous Beam Example

试求图示等截面连续梁（两跨 $AB$、$BC$，$AB$ 跨承受均布 $q$，$BC$ 跨承受均布 $q$）的极限荷载。 设梁截面极限弯矩为 $M_{\mathrm u}$。

动画 12.3.7

① AB 跨单独形成机构

由于 "等截面 + 同向荷载" 条件，按 12.3.6 的规则，只可能出现 单梁机构。 $AB$ 跨单独形成机构时：两塑性铰为 $A$ 端（$M_{A} = -M_{\mathrm u}$）与 $AB$ 跨内某点（正弯矩 $M_{\mathrm u}$）。

用机动法，对 $AB$ 跨构造机构（$A$ 端 / 跨中 / $B$ 端塑性铰），设 $AB$ 跨中挠度 $\delta_{1}$，转角 $\theta_{1} = 2\delta_{1}/l_{1}$：

$$ q\cdot \dfrac{l_{1}}{2}\cdot \delta_{1} \;=\; 2\, M_{\mathrm u}\, \theta_{1} \;+\; M_{\mathrm u}\,\theta_{1} $$
(12.3-15)

展开得 $q_{\mathrm u}^{AB} \cdot l_{1}^{2}/4 = 3 M_{\mathrm u}\cdot (2\delta_{1}/l_{1})$，即

$$ q_{\mathrm u}^{AB} \;=\; \dfrac{24\, M_{\mathrm u}}{l_{1}^{2}} $$
(12.3-16)
此为 $AB$ 跨单独破坏对应的可破坏荷载值（具体数值依实际 $l_1$ 与塑性铰位置精算）

② BC 跨单独形成机构

类似地对 $BC$ 跨构造机构：

$$ q_{\mathrm u}^{BC} \;=\; \dfrac{24\, M_{\mathrm u}}{l_{2}^{2}} $$
(12.3-17)

③ 选较小者作为真实极限荷载

取两跨单梁机构中 $q_{\mathrm u}$ 较小者——即 跨度较大的那一跨先破坏：

$$ q_{\mathrm u} \;=\; \dfrac{24\, M_{\mathrm u}}{\max(l_{1},\, l_{2})^{2}} $$
(12.3-18)

一旦该跨破坏，整个连续梁丧失承载能力，因此真实的极限荷载为其中 较小者——这就是 极小定理（§12-4 将严格证明）的直接应用。

本节要点
  1. 静定梁极限荷载 = $M_{\mathrm u}$ 除以几何因子——与弹性极限相差 $\alpha = M_{\mathrm u}/M_{\mathrm s}$ 倍；
  2. 超静定梁需形成 足够多塑性铰 使体系变机构——然后才破坏；
  3. 塑性铰位置由 $\mathrm d M/\mathrm d x = 0$ 确定——均布荷载下一固一铰梁精确位置 $x = 0.414\, l$；
  4. 两大特点：无需追踪塑性铰顺序 与 温度支座无影响；
  5. 变截面梁的塑性铰还可能出现在 截面突变处——机构种类要一一验证；
  6. 连续梁等截面同向荷载下 只能发生单梁机构，取跨度较大的那一跨最先破坏为实际极限；
  7. 下一节 §12-4 将给出比例加载下的上限 / 下限 / 惟一性三大定理。
§12-4 比例加载定理 →