有限自由度体系的稳定

求解稳定问题时首先要回答：失稳后新的位移形态需要多少个独立参数来描述？ 这个独立参数的个数就是体系的 失稳自由度。

自由度的多少取决于 约束情况 与 构件的刚性假设。 对弹性压杆而言，挠曲线需用无穷多个参数描述——属 无限自由度（§11-3 讨论）； 而在若干工程简化模型中，可假设压杆本身为 刚性杆，仅在个别铰处集中变形，此时失稳自由度便降为有限。

① 失稳自由度为无限多

弹性压杆的任意截面均可发生微小侧移——挠曲线为连续函数 $y(x)$，需 无穷多个 独立参数刻画，属无限自由度问题。

② 有限自由度的简化模型

当压杆本体视作 刚性，仅在弹性支座或铰接处集中变形时，失稳形态由 有限个 独立参数确定。 下图所示为 三个刚性杆 用两个弹性铰相连的压杆模型——失稳自由度为 $n = 2$ 或 $3$，取决于铰的个数。

静力法（又称平衡法）的核心思想： 在 原始平衡状态附近 假设一个微小的新位移形态，在该新形态上建立静力平衡方程； 若方程能出现 非零解，即说明新形态可与原形态同时满足平衡——此时对应的荷载即为 临界荷载。

① 新位移形态下的平衡

以单自由度模型为例：下端固定、上端水平支杆的刚性压杆 $AC$（$A$ 处转动刚度 $k_\theta = 3EI/l$）， 失稳后 $A$ 处转角 $\theta$ 即唯一自由度。对刚性杆列矩平衡方程：

② 齐次方程的非零解条件

整理得关于 $\theta$ 的齐次方程：

令系数为零：$F_{\mathrm P}\, l - 3EI/l = 0$，即得 临界荷载

③ 多自由度推广 · 特征方程

对具有 $n$ 个自由度的体系，可对新位移形态建立 $n$ 个独立的平衡方程， 形成关于 $n$ 个独立参数的 齐次线性代数方程组。 非零解存在的条件是系数行列式为零：

动画 11.2.3-a 所示体系 $AB$、$BC$、$CD$ 各杆均为刚性，节点 $B$、$C$ 处有 弹性支承（刚度 $k$），$D$ 端有轴向压力 $F_{\mathrm P}$。 试求临界荷载，并给出相应的失稳图形。

① 确定自由度 · 新位移形态

失稳时，体系的新位移形态由铰 $B$、$C$ 的两个 竖向位移 $y_1$、$y_2$ 完全确定——自由度 $n = 2$。 弹性支座反力分别为 $k y_1$ 与 $k y_2$。

② 列隔离体平衡方程

由整体对 $A$ 点取矩 $\sum M_A = 0$，得 $D$ 端竖向反力

再取铰 $B$、$C$ 以右隔离体的矩平衡 $\sum M_B = 0,\ \sum M_C = 0$，整理后得

③ 化为齐次方程组

消去 $F_{yD}$ 得到关于 $y_1, y_2$ 的齐次方程组：

④ 稳定方程与特征值

非零解要求系数行列式为零：

展开得 $3F_{\mathrm P}^2 - 4klF_{\mathrm P} + (kl)^2 = 0$，解出两个特征根：

⑤ 取较小者 · 临界荷载

例11-1 的两个特征根 $F_{\mathrm{P1}} = kl/3$ 与 $F_{\mathrm{P2}} = kl$ 分别对应 两个独立的失稳位移形态。将特征值代回齐次方程组，可求出两铰处位移的比值 $y_2 / y_1$：

能量法 的出发点是 势能驻值原理： 体系取得平衡的充分必要条件是——任意可能的位移和变形均使势能 $E_{\mathrm P}$ 取得 驻值， 即势能的一阶变分为零：

先以动画直观展示 势能驻值原理——扰动发生时，体系势能一阶变分为零时才保持平衡：

在驻值点附近考察 二阶变分 $\delta^{2} E_{\mathrm P}$ 的符号，即可判断平衡的稳定性。 直观上可用 小球在曲面上的三种平衡 来理解：

变形体系的势能 · 两部分之和

对于变形体系，总势能由 应变能 $U$ 与 荷载势能 $U_{\mathrm P}$ 两部分组成：

利用势能判断稳定性的两种等价方式： （i） 势能驻值 $\delta E_{\mathrm P} = 0$ 且位移有非零解 —— 即特征值问题； （ii） 势能二阶变分为零 $\delta^{2} E_{\mathrm P} = 0$ —— 即临界状态准则。两者本质相同，通常采用前者。

以 动画 11.2.6-a 的单自由度刚性压杆为例，采用 能量法 重新求 $F_{\mathrm{Pcr}}$，并与静力法结果对比。 失稳前体系能量为零，考察失稳时 $A$ 处转角 $\theta$ 引起的能量变化。

势能驻值 → 临界荷载

合成总势能：

应用势能驻值条件 $\mathrm d E_{\mathrm P}/\mathrm d \theta = 0$：

对具有 $n$ 个自由度的体系，设 $n$ 个独立的广义坐标为 $a_1, a_2, \ldots, a_n$。 失稳后体系的总势能可表达为这些坐标的函数：

① 势能驻值条件

由 $\delta E_{\mathrm P} = 0$ 且 $\delta a_1, \ldots, \delta a_n$ 任意，要求 $E_{\mathrm P}$ 对每个 $a_i$ 的一阶偏导数同时为零：

② 齐次线性代数方程组

由于 $E_{\mathrm P}$ 是 $a_i$ 的二次齐次函数，其一阶偏导为 $a_i$ 的 线性 函数， 故 (11-5) 构成一组关于 $a_1, \ldots, a_n$ 的 齐次线性代数方程组。 $a_1 = \cdots = a_n = 0$ 对应原始平衡态。

③ 稳定方程 · 特征值

失稳要求存在非零解，故方程组的系数行列式须为零：

由 $D = 0$ 可解出 $n$ 个特征值——即 $n$ 个可能的临界荷载。 取其中最小者 即为体系的真实临界荷载，其对应的 $a_i$ 比值给出失稳位移形态。

试用 能量法 重新计算 例11-1（见动画 11.2.8-a） 体系的临界荷载，并与静力法的结果 $F_{\mathrm{Pcr}} = kl/3$ 进行对照。

① 体系动画与几何设定

失稳位移形态仍由 $y_1, y_2$ 两个独立参数确定。刚性杆自身不储能，应变能全部集中在 $B$、$C$ 两弹性支承中。

② 应变能 U

两弹性支座的应变能之和：

③ 荷载势能 U_P · $D$ 点水平位移

用式 (11-4) 近似 $l(1-\cos\theta) \approx l\theta^{2}/2$，对各刚性段累加可得 $D$ 点水平位移：

④ 总势能 · 驻值条件

分别令 $\partial E_{\mathrm P}/\partial y_1 = 0$ 与 $\partial E_{\mathrm P}/\partial y_2 = 0$，展开整理得：

⑤ 特征方程 · 结果

系数行列式为零：

展开得 $3 F_{\mathrm P}^{2} - 4 kl\, F_{\mathrm P} + (kl)^{2} = 0$，与例11-1 静力法 完全相同的特征方程。

本节以 有限自由度体系 为载体，系统阐述了 静力法 与 能量法 两条求解主线。 通过同一例题（两自由度）验证：两种方法得到同一特征方程、同一临界荷载，本质相通。