Chapter 12 · Section 1

结构的塑性分析和极限荷载 · 概述

线弹性分析以 许用应力 作设计准则——结构一局部屈服即被视为破坏。 但塑性材料（尤其超静定结构）屈服点并非破坏点：结构可 继续承载 直至足够截面屈服、体系转化为 机构 才丧失承载能力。 塑性分析 以这一 极限状态 为设计依据，能更合理地利用材料。

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12.1.1

弹性设计及其局限性

Motivation

前几章讨论的是 线弹性结构分析：假设结构受力时材料处于弹性阶段，荷载全部卸除后结构恢复原有形状，无残余变形。 以杆件截面上的应力进行设计，要求 最大应力 $\sigma_{\max}$ 不超过许用应力：

$$ \sigma_{\max} \;\le\; [\sigma] \;=\; \dfrac{\sigma_{\mathrm s}}{n} $$
(12.1-1)
$n$ 为安全系数；对塑性材料（软钢）$\sigma_{\mathrm s}$ 为屈服极限；对脆性材料（铸铁）则为极限强度

这种以 "许用应力" 为依据的分析称为结构的 弹性设计。

思考题 · 弹性设计的主要缺点？

对塑性材料超静定结构而言—— 局部材料破坏 ≠ 结构丧失承载力， 弹性设计 不能反映结构的强度储备。 一局部进入塑性状态时结构并 不会立即破坏——仍能继续承受更大的荷载。 这正是需要 塑性分析 的出发点：以 极限状态（体系变为机构） 为设计依据，才能真正利用材料的全部承载能力。

12.1.2

超静定桁架的塑性发展（见动画 12.1.2）

Truss Example

以动画 12.1.2 所示 超静定桁架（$EA$ 为常数）为例，观察屈服后结构如何继续承载：

动画 12.1.2
思考题 · 何杆先强度破坏？桁架能否继续加载？

当荷载 $F_{\mathrm P}$ 增大到某一定值时，$CD$ 杆应力首先达到 $\sigma_{\mathrm s}$。 此时 $CD$ 杆仍能继续拉伸变形但 轴力保持不变 ——桁架能否继续加载？

解答

$CD$ 杆虽已屈服，但其作用可用 中一对大小等于 $A\sigma_{\mathrm s}$ 的外力作用于结构 替代—— 结构仍是几何不变的，可继续承载。

继续加载直至 $AC$ 和 $BC$ 杆的应力也达到屈服极限，体系转化为机构——真正破坏才发生。

静定桁架 Determinate

  • 一杆破坏即成机构——无强度储备；
  • 极限荷载 = 最小屈服荷载（单杆）。

超静定桁架 Indeterminate

  • 一杆屈服后 仍有强度储备（不计材料强化时）；
  • 必须多杆屈服使体系变为机构才达极限；
  • 塑性分析可挖掘的 额外承载力 就来自此。
12.1.3

等截面连续梁的塑性发展（见动画 12.1.3）

Continuous Beam

对 受弯构件 而言，强度储备不仅来自超静定性，还来自 截面自身—— 这是因为截面上的纤维屈服是 逐层发生，从最外纤维到全截面屈服还有相当差距。

动画 12.1.3
① 弹性阶段

$M_{\max} < M_{\mathrm s}$

按弹性分析得 $M$ 图，最大弯矩位置（$D$ 截面）处的最大正应力尚未达 $\sigma_{\mathrm s}$。整根梁处于弹性工作。

② 弹塑性阶段

$M_{\mathrm s} \le M_{D} < M_{\mathrm u}$

$D$ 截面边缘纤维首先屈服，内部纤维仍弹性。该截面上应力不再呈线性，但结构仍能继续承载——截面强度储备。

③ 塑性铰形成

$M_{D} = M_{\mathrm u}$

$D$ 截面全部纤维屈服（$\sigma = \pm\sigma_{\mathrm s}$），达 极限弯矩 $M_{\mathrm u}$。$D$ 点失去抗转能力，相当于 铰。

两种强度储备的叠加
  • 截面强度储备：从最外纤维屈服到全截面屈服——$M_{\mathrm s} \to M_{\mathrm u}$，约 1.5 倍（矩形截面）；
  • 体系强度储备：从第一个塑性铰到体系变机构——多个塑性铰逐步形成；
  • 两种储备相乘即 超静定梁的总强度储备——塑性设计可挖掘的额外承载力。

塑性铰的关键特性

  1. 塑性铰位于 弯矩最大值截面（随 $M$ 图位置变化，非结构上固定点）；
  2. 塑性铰两侧始终作用大小 恒定 为 $M_{\mathrm u}$ 的一对集中力偶；
  3. 塑性铰可转动但 单向——只能沿 $M_{\mathrm u}$ 方向转，反向则恢复约束（与普通铰不同）；
  4. 一个塑性铰形成后，超静定次数减 1。

继续加载：下一高弯矩截面（如 $B$）也达 $M_{\mathrm u}$ 形成新塑性铰——如此逐步形成， 直到 体系转化为机构（弯曲破坏机构），结构丧失承载能力。 对应荷载称为 极限荷载 $F_{\mathrm{Pu}}$。 20 世纪 30-40 年代以来确立的这套 按极限荷载设计 方法即 塑性分析方法。

12.1.4

理想弹塑性材料假设 · 路径相关性

Idealized σ-ε

为了建立塑性分析的理论和方法，先对材料的力学性能（应力与应变的关系）做 合理简化。 是典型低碳钢拉伸试验的应力-应变曲线示意图。结构塑性分析中通常假设材料为 理想弹塑性材料（见动画 12.1.4），并认为 受拉和受压性能相同。

动画 12.1.4

理想弹塑性的三条规则

  1. 弹性阶段（$OA,\, OD$ 段）—— 应力与应变成线性关系 $\sigma = E\varepsilon$。
  2. 塑性流动（$AC,\, DE$ 段）—— 一旦到达屈服极限 $\sigma_{\mathrm s}$， 材料进入塑性流动状态：应力不再增加，应变无限增大。
  3. 卸载规则（$BF$ 段）—— 当塑性变形到达 $B$ 点后卸载，应力应变沿 与 $OA$ 平行的直线 $BF$ 下降。 卸载时关系 $\Delta\sigma/\Delta\varepsilon = E$ 仍成立——此类材料 加载时为理想弹塑性，卸载时为线性弹性。
$$ \sigma \;=\; \begin{cases} E\,\varepsilon, & |\varepsilon| \le \varepsilon_{\mathrm s} \text{（弹性段）} \\[4pt] \sigma_{\mathrm s}\,\mathrm{sgn}(\dot{\varepsilon}), & |\varepsilon| > \varepsilon_{\mathrm s} \text{（塑性流动段）} \end{cases} $$
(12.1-2)
$\varepsilon_{\mathrm s} = \sigma_{\mathrm s}/E$；理想弹塑性 $\sigma$-$\varepsilon$ 关系的显式表达

卸载后，应变的 弹性部分 $\varepsilon_{\mathrm e}$ 随应力减小至零而消失， 而 塑性部分 $\varepsilon_{\mathrm p}$ 不随卸载而消失，称为 残余应变。

弹塑性问题的基本特点 · 路径相关性

应变与应力之间不是一一对应关系——同一应力值 $\sigma_{\mathrm s}$ 可对应不同的应变值 （中 $OA'$、$OABB'$、$OACC'$ 三条路径的 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 各不相同）。

换言之——最终状态与加载路径有关。塑性分析中不能仅依赖瞬时加载状态， 必须 追踪结构的全部受力变形过程：哪些截面先屈服、先卸载、再加载…… 这是塑性分析远比弹性分析复杂的根源。所幸对 比例加载 情形可得出一系列极为重要的定理（见 §12-4）。

硬化材料（本章不涉及）

有的材料（如铝合金）应力达比例极限后即出现 硬化——没有明显塑性流动（a/b）。 本章限于讨论理想弹塑性材料——最简单且工程意义突出。

本节要点
  1. 弹性设计以 许用应力 为标准——对超静定结构会低估承载能力；
  2. 塑性设计以 极限状态（体系转化为机构） 为标准——可挖掘 截面 + 体系 两层强度储备；
  3. 塑性铰位于 弯矩最大截面，两侧保持 $\pm M_{\mathrm u}$ 恒定力偶，单向转动；
  4. 理想弹塑性材料：加载时屈服后应力保持 $\sigma_{\mathrm s}$ 不变；卸载时 $\Delta \sigma/\Delta \varepsilon = E$；
  5. 塑性分析 路径相关——同一应力可对应多个应变值；
  6. 下一节 §12-2 将具体推导 矩形截面纯弯梁的极限弯矩 $M_{\mathrm u}$。
§12-2 极限弯矩 →